La (asombrosa) máquina π.

Las matemáticas no dejan de ser… mágicas, recordemos la Estrella Pitagórica (La magia de la Estrella Pitagórica | pdp; https://paolera.wordpress.com/2014/10/24/la-magia-de-la-estrella-pitagorica/.)
Ya les había mostrado cómo el horizonte está más cerca de lo pensado (El horizonte, ¿dónde está? | pdp; https://paolera.wordpress.com/2016/07/01/el-horizonte-donde-esta/).

Ahora les presento la máquina Pi (máquina π).
Consta de dos masas; M y m donde M es mayor a m, y una pared de masa infinita comparada con ambas. El cuerpo de masa m está en reposo entre la pared y M, y ambas sobre una superficie plana, horizontal que no ofrece rozamiento ni resistencia al movimiento.
M se acerca a m con velocidad constante. Cuando la choca, m va contra la pared, donde rebota y choca a M. Cuando m choca con la pared, rebota con la misma velocidad porque la masa de la pared es infinita frente a m. Pero cuando lo hace con M, disminuye su velocidad porque entregó parte de su energía en trabajo para frenar a M ya que sus masas son comparables.
La pregunta es: ¿cuántas veces rebota m antes de detenerse por choques con M, o no alcanzar a M (porque cambió de sentido su movimiento y m va muy despacio para llegar a ella) ?
Veamos el video: La respuesta más inesperada de un juego de colisiones.

3Blue1Brown
Publicado el 13 ene. 2019

No interesa la velocidad inicial de M, ya que sólo se logra que los rebotes sean más rápidos pero no en mayor cantidad.
Sucede que para una relación de masas M/m que sea potencia de 10, los rebotes son las cifras de π.
O sea que para relaciones de 1; 10; 100; 1000; 10000; … se obtienen 3; 31; 314; 3141, 31415;…
De ahí el nombre de esta “máquina”.
Pero si aparece π, en alguna parte debe haber una circunferencia.
Pues bien; el espacio de las fases es el “espacio matemático” en el que se relacionan las posiciones y velocidades de los cuerpos. En este caso, si llamamos X a la velocidad de una de las masas, e Y a la de la otra, para este problema, en el espacio de las fases se encuentra que X2 + Y2 = k2, con k constante. Eso es la ecuación de una circunferencia de radio k.

Referencia:

Fuente:

pdp.

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