Patrones observables en los Naturales.

Los números Naturales muestran características asombrosas.
Compuestos por los Enteros mayores a cero, teciben ese nombre porque nos sirven para contar lo que está a nuestro alrededor.
Para los antiguos Pitagóricos, la magia de los números Natgurales radicaba en sus divisores. La magia de la Estrella Pitagórica radica en que en sus segmentos aparece la proporción áurea (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%Bamero_%C3%A1ureo), (pdp, 24/oct./2014, La magia de la estrella pitagórica, https://paolera.wordpress.com/2014/10/24/la-magia-de-la-estrella-pitagorica/).

Los números Naturales suelen mostrar curiosos patrones.
Si ubicamos en espiral los números primos, obtendremos lo que se conoce como la Espiral de Ulam. En una matriz, nos movemos del centro en espiral hacia afuera y vamos contando casilleros. En los primos ponemos un punto y en los compuestos dejamos el hueco. Así aparece una curiosa estructura cuyo nombre se refiere el matemático que la encontró.

Gráfico publicado en Wikipedia

Los números deficientes, son aquellos donde la suma de sus divisores propios (inferiores al mismo número) no supera al número. Así, los primos son un sub-grupo de los deficientes. Estos números muestran el mismo patrón que el observado en la Espiral de Ulam, luego los primos heredan la distribución en el Espiral de Ulam de los deficientes.
Si hacemos lo mismo con los abundantes (aquellos que son superados por la suma de sus divisores propios) obtendremos un patrón similar pero complementario del anterior. O sea que los puntos de uno rellenan los huecos del otro dando un relleno sólido de la matriz. Sólo aparecen unos huecos que son los dados por los perfectos; aquellos donde la suma de sus divisores propios es igual al número.

Podemos descomponer un Natural en sus factores primos. Si por cada factor primo que muestra colocamos un 1 y colocamos un 0 por cada factor primo que no presenta, tendremos una representación vectorial del Natural en un espacio multidimensional.
Por ejemplo, el número 10 tiene sólo dos factores primos, el 2 y el 5; o sea el primer y el tercer primo, luego lo podemos representar como (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0,…). El 2 tiene la misma representación que el 4, es decir (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,…) ya que ambos muestran el mismo factor primo. El 11 equivale a (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,…). El 6 y el 12 se representan por (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0,…).
Luego podemos proyectar ese espacio multidimensional en 2 dimensiones para graficar cada Natural. Además podemos utilizar una escala de color relacionada con una propiedad de los Naturales graficados (valor, cantidad de factores, etc.)
Si hacemos esto con un algoritmo de proyeccción tal como UMAP (Uniform Manifold Approximation and Proyejection – Aproximación y Proyección uniforme Múltiple) se obtienen entonces patrones muy llamativos

1 000 000 de Naturales proyecyados y graficados con UMAP

En general, los patrones observados en los Naturales no están relacionados con propiedades físicas observadas en la Naturaleza. Sólo son curiosas características de los números enteros y positivos.

Video: First million integers, laid out with UMAP

Publicado el 22 ago. 2018.

Agradecimiento a Martín Lafont.

Fuente:

pdp.

 

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