El horizonte, ¿dónde está?

Este es otro ejemplo de cálculo interesante y sencillo para los amantes de la matemática (sí, la matemática es linda).
El cálculo de la distancia a nuestro horizonte lo encontré en una página cuyo enlace lo agrego al final de esta nota como fuente de la misma.

horizonte

La distancia a nuestro horizonte es la longitud del segmento que va desde nuestros ojos al punto donde nuestra visión es tangente a la superficie de la Tierra. Eso depende de nuestra altura, o altura de los ojos, sobre la superficie terrestre y el radio de la Tierra obviamente supuesta esférica para simplificar el cálculo. Adoptemos un radio terrestre de 6400Km., y que nuestros ojos están a 1,7m. de altura. La idea es hallar las coordenadas cartesianas del punto de tangencia de nuestra visual, es decir la abscisa (X) y la ordenada (Y) de ese punto. Si nos paramos en el polo (como en cualquier parte total tomamos la Tierra esférica) nuestras coordenadas cartesianas serán: abscisa nula y ordenada igual al radio terrestre más la altura de nuestros ojos.
Calculando la abscisa del punto de tangencia, podemos hallar su ordenada a través de la ecuación de la circunferencia, ya que este problema se resuelve en sólo dos dimensiones.
Luego de los cálculos que pueden seguirse en el artículo fuente de éste, se encuentra que la abscisa del punto de tangencia es 4,52Km.. Cómo nuestra altura o la de nuestros ojos es muy pequeña frente al radio terrestre, la abscisa del punto de tangencia es casi igual a la distancia a ese punto y por lo tanto al horizonte.

Si nos ponemos estrictos y decidimos calcular esa distancia, lo podemos hacer como la raíz cuadrada de la suma entre el cuadrado de la diferencia entre las ordenadas y el cuadrado de la diferencia de las abscisas entre nuestros ojos y el punto de tangencia.
Bien; luego de hacer las cuentas (y debido a que somos pequeños frente al radio terrestre), veremos que la ordenada del punto de tangencia es casi la misma que la de nuestros ojos. Luego, el cuadrado de la diferencia entre ellas es muy pequeño. Nuestra abscisa es nula (ver ilustración) por lo que la diferencia de las abscisas es igual a la del punto de tangencia, así es como el cuadrado de la diferencia de abscisas es el cuadrado de la abscisa del punto de tangencia. Entonces la suma de esos cuadrados es casi el cuadrado de la abscisa del punto de tangencia. Finalmente, la raíz cuadrada de esa suma será casi igual a la abscisa del punto de tangencia.

O sea que la distancia al horizonte es de… 4,5Km., poco más o menos.
Es más cerca de lo pensado (al menos por mí).

Detalle:
El monte Olimpo en Marte, tiene una altura de unos 22,5Km y el radio de su base, considerada circular, es de 300Km.. Si en este caso hacemos un cálculo similar, notaremos que un observador en la cima del monte Olimpo marciano, tendría un horizonte dentro de la base del volcán; o sea que el volcán ocuparía todo su horizonte y no vería en suelo marciano a lo lejos.

Referencia:

Fuente:

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