La sucesión de Mónica; o las capas del hojaldre.

Mi esposa está haciendo la carrera de maestra pastelera y llegaron a la masa de hojaldre [1]. Esta masa tiene varias capas y la técnica consiste en aumentar la cantidad de capas plegando varias veces la masa.
Se comienza con una masa de 7 capas; se la dobla en tercios sobre sí misma y se obtienen 19 capas. Si se repite el proceso se obtienen 55; 163; 487 y finalmente 1459 luego de ésta el proceso se lo considera terminado.

Mi esposa pensó, “¿por qué memorizar las capas si se puede deducir de alguna manera?”
Así es como encontró que comenzando con 7 capas, luego de cada proceso de doblado en tres partes, se obtienen 2 capas menos que el triple de las capas anteriores.

O sea:
M(n+1) = 3M(n) – 2; con M(1) = 7

donde n indica en enésimo término de la sucesión y (n+1) es el que le sigue.
Podemos extrapolar hacia atrás y decir que existe M(0) = 3.

Pero surge ahora otra pregunta, ¿por qué hay que restar 2 luego de cada proceso en lugar de quedarnos con el triple de la cantidad de capas?
Aparentemente, para los que se dedican a la pastelería, las láminas dobladas sobre ellas mismas se las considera una sola aunque sean dobles. Así, luego de doblar la masa en tres partes, la última lámina de la primera parte es la misma que la primera de la segunda, ya que es la misma doblada sobre sí misma; luego hay que restar una en la cantidad de láminas. De la misma manera, la última de la segunda parte, es la misma que la primera de la tercera y hay que restar otra; en total se restaron 2 láminas.
Si la masa se dobla en 4 partes, habrá que restar 3; en 5 partes habrá que restar 4; en K partes, habrá que restar (K-1).
Finalmente, la forma general queda:

M(n+1) = K*M(n) – (K-1)

donde K es la cantidad de partes en que se dobla y M(0) es la cantidad inicial de láminas, tantas como se quiera.

Referencia:

  1. https://es.wikipedia.org/wiki/Hojaldre

pdp.

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